Живейный извозчик это легковой извозчик средней руки, занимавший место между лихачом и ванькой или живейник.
Пример использования: ЖИВЕЙНЫЙ ИЗВОЗЧИК
НИКОЛАЙ ЛЕСКОВ: “У занимаемой нами гостиницы вертелись два живейные извозчика, поджидавшие, что они нам на что-нибудь понадобятся.” (Интересные мужчины)